Question

[必做题]
已知整数n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3个元素的子集记为A₁，A₂，…，A_C．
（1）当n=5时，求集合A₁，A₂，…，A_C中所有元素之和；
（2）设m_i为A_i中的最小元素，设p_n=m₁+m₂+…+m_c，试求p_n（用n表示）．

Answer 1

（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，
于是所求元素之和为（1+2+3+4+5）×15=90
（2）证明：不难得到1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，并且以1为最小元素的子集有个，以2为最小元素的子集有

C

2n-2

个，以3为最小元素的子集有

C

2n-3

，…以n-2为最小元素的子集有

C

22

个
∴p_n=m₁+m₂+…+m_c=1×

C

2n-1

+2

C

2n-2

+…+(n-2)

C

22

=(n-2)

C

22

+(n-3)

C

23

+…+

C

2n-1

=

C

22

+（n-3）（

C

22

+

C

23

）+（n-4）

C

24

+…+

C

2n-1

=

C

22

+(n-3)(

C

33

+

C

23

)+(n-4)

C

24

+…

+C

2n-1

=

C

22

+

C

34

+（n-3）（

C

24

+

C

34

）+…+

C

2n-1

=

C

22

+

C

34

+（n-4）

C

35

+…+

C

2n-1

=

C

44

+

C

34

+

C

35

+…+

C

3n

=

C

4n+1