Question

【题目】已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．
（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；
（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，设C1（a，1﹣a），则

∵过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，

∴ = ，

∴（a﹣2）（a﹣62）=0

∵半径小于5，

∴a=2，此时圆C1的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，

∵C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，

∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9；

（2）解：设P（a，2a﹣6），圆C2的半径r=2，

∴四边形PCC2D面积S=2 = =3|PD|，

|PD|= = ，

∴a=3时，|PD|min= ，此时面积最小为3 ，P（3，0）．

∵C，D在以PC2为直径的圆上，

∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，

∵圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，

∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．

【解析】（1）利用过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切， = ，求出圆心与半径，可得圆C1的方程，利用C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，即可求圆C2的方程；（2）求出四边形PCC2D面积最小值，可得以PC2为直径的圆的方程，即可求直线CD的方程．
【考点精析】掌握直线与圆的三种位置关系是解答本题的根本，需要知道直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．