Question

如图所示，已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，且满足 DC﹣DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC；
（2）求二面角A₁﹣BD﹣C₁的余弦值．

Answer 1

解：（1）设E是DC的中点，连接BE，
则四边形DABE为正方形，∴BE⊥CD．故BD= ，BC= ，CD=2，
∴∠DBC=90°，即BD⊥BC．
又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B ∴BD⊥平面BCC₁B₁，
（2）由（I）知DB⊥平面BCC₁B₁，
又BC₁?平面BCC₁B₁，∴BD⊥BC₁，
取DB的中点F，连接A₁F，又A₁D=A₁B，
则A₁F⊥BD．
取DC₁的中点M，连接FM，
则FM∥BC₁，
∴FM⊥BD．
∴∠A₁FM为二面角A₁﹣BD﹣C₁的平面角．
连接A₁M，在△A₁FM中，A₁F=，FM===，
取D₁C₁的中点H，连接A₁H，HM，
在Rt△A₁HM中，∵A₁H=，HM=1，
∴A₁M=．
∴cos∠A₁FM=．
∴二面角A₁﹣BD﹣C₁的余弦值为．