Question

16．已知函数f（x）=x²e^x，当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． [e，+∞）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，先求出f（x）在[-1，1]上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∵x∈[-1，1]，
∴当-1≤x≤0时，函数f（x）为减函数，当0≤x≤1时，函数f（x）为增函数，
则当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，
∵f（1）=e，f（-1）=$\frac{1}{e}$，
∴函数f（x）在[-1，1]上的最大值为e，
∵当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞e，
故选：D．

点评 本题考查不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．