Question

已知数列{x_n}满足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*；
（1）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：|xn+1-xn|≤

1

6

(

2

5

)n-1．

Answer 1

分析：（1）对于数列{x_n}的单调性的证明，我们可以根据数列的前若干项，归纳推理出数列的单调性，然后再利用数学归纳法进行证明．
（2）我们可以将待证的问题进行转化，变形成|xn+1-xn|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

的形式，然后结合已知条件进行证明．

解答：证明：（1）由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，x5=

8

13

，x6=

13

21

，…
由x₂＞x₄＞x₆猜想：数列{x_2n}是递减数列
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即x_2k＞x_2k+2
易知x_2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立
（2）当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=

1

6

，结论成立
当n≥2时，易知0＜x_n-1＜1，
∴1+xn-1＜2，xn=

1

1+xn-1

＞

1

2

∴(1+xn)(1+xn-1)=(1+

1

1+xn-1

)(1+xn-1)=2+xn-1≥

5

2

∴|xn+1-xn|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

≤

2

5

|xn-xn-1|≤(

2

5

)2|xn-1-xn-2|≤…≤(

2

5

)n-1|x2-x1|
=

1

6

(

2

5

)n-1

点评：本题（1）中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．