Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA，sinA的值；
（2）若cosB+cosC= ，求cosC+ sinC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3acosA=bcosC+ccosB，

由正弦定理可知：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，

可得3sinAcosA=sin（B+C）=sinA，

∵A为三角形内角，sinA≠0，

∴cosA= ，sinA= =

（2）解：∵cosB+cosC=cosB﹣cos（A+B）= ，

∴cosB﹣cosAcosB+sinAsinB=cosB﹣ cosB+ sinB= ，可得：cosB+ sinB= ，

∴ =3，化简可得：tan2B﹣2 tanB+2=0，解得：tanB= ，

∴cosB= = ，sinB= = ，

∴cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB= × ﹣ = ，sinC= = ，

∴cosC+ sinC= + =

【解析】（1）通过正弦定理化简已知条件，利用两角和的正弦函数与二倍角公式，结合谁教你的内角和即可求A；（2）由三角形内角和定理化简已知可得：cosB+ sinB= ，解得tanB，cosB，sinB的值，利用两角和的余弦函数公式可求cosC，进而可求sinC的值，即可计算得解．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．