Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：a_n-a_n+1+1=0即a_n+1-a_n=1，由此能求出a_n=n．
（2）由a_n=n知Sn=

n(n+1)

2

，所以

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，由此能求出Tn=

2n

n+1

．

解答：解：（1）由题意可知：a_n-a_n+1+1=0，
即a_n+1-a_n=1…（2分）
∴{a_n}是以a₁=1为首相，d=1的等差数列，
∴a_n=n…（4分）
（2）∵a_n=n，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2+3+…+n
=

n(n+1)

2

．
∵Sn=

n(n+1)

2

…（6分）
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)…（8分）
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

2n+1

．
∴Tn=

2n

n+1

…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的求法．解题时要认真审题，注意裂项求和法的灵活运用．