Question

【题目】已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1． （Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域 内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

【答案】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且 ，即a＞0且2b≤a． （Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，
所以，所求概率 ．
（Ⅱ）如图，求得区域 的面积为 ．
由 ，求得
所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为 ．
所以，所求概率
【解析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且 ≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN= ×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM= ×8× = ，故所求的事件的概率为 P= ，运算求得结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解几何概型的相关知识，掌握几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．