Question

20．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞kx对任意的x＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据切线方程求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）问题转化为k＜$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0）恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0），根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2x，切线的斜率k=e⁰-0=1，∴b=1．
∴切线方程为y=x，切点坐标为（0，0）．
∴e⁰+a=0，∴a=-1，∴f（x）=e^x-x²-1．
（2）由（1）知e^x-x²-1＞kx（x＞0）恒成立，
∴k＜$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0）恒成立．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}{-x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
∴k＜g（x）_min即可
g′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴e^x-x-1＞0．
∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴当x=1时，g（x）取最小值g（1）=e-2，
∴k＜e-2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查切线方程问题，是一道中档题．