Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（Ⅰ）证明：当b=2时，{a_n-n•2^n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知a_n+1=2a_n+2^{n．由此可知}a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1），所以{a_n-n•2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知a_n=（n+1）2^n-1；当b≠2时，由题意得an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1=b(an-

1

2-b

•2n)，由此能够导出{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）当当b=2时，由题意知2a₁-2=a₁，解得a₁=2，
且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
ba_n+1-2ⁿ⁺¹=（b-1）S_n+1
两式相减得b（a_n+1-a_n）-2ⁿ=（b-1）a_n+1
即a_n+1=ba_n+2ⁿ①
（Ⅰ）当b=2时，由①知a_n+1=2a_n+2ⁿ
于是a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1）
又a₁-1•2⁰=1≠0，所以{a_n-n•2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知a_n-n•2^n-1=2^n-1，
即a_n=（n+1）2^n-1
当b≠2时，由①得an+1-

1

2-b

•2n+1=ban+2n-

1

2-b

•2n+1
=ban-

b

2-b

•2n=b(an-

1

2-b

•2n)
因此an+1-

1

2-b

•2n+1═b(an-

1

2-b

•2n)=

2(1-b)

2-b

•bn
即an+1=

1

2-b

•2n+1+

2(1-b)

2-b

•bn
所以an=

1

2-b

•2n+

2(1-b)

2-b

•bn-1．

点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有S_n的递推公式的重要手段，使其转化为不含S_n的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．