Question

已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．
由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，
即a²x+ab+b=4x-3，所以，，
解得：或，
因为a＞0，所以a=2，b=-1．
所以f（x）=2x-1；
（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．
不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，
即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，
因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f_max（x）=f（2）=3．
所以m＞3．
所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．
分析：（1）根据一次函数f（x）是增函数，设出一次函数的表达式，代入f（f（x））=4x-3，利用系数相等可求一次函数解析式；
（2）根据（1）中求出的函数是增函数，直接求出f（x）在[-2，2]上的最大值，则实数m的取值范围可求．
点评：本题考查了一次函数的图象和性质，考查了利用代入法求函数解析式，本题的（2）实则是分离变量的解题思想，此题是基础题．