Question

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的x个红球和4个黑球．现在先从甲盒内一次随机取2个球，再从乙盒内一次随机取出2个球，甲盒内每个球被取到的概率相等，乙盒内每个球被取到的概率也相等．已知取出的4个球都是黑球的概率

1

5

．
（I）求乙盒内红球的个数x；
（II）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．由于事件A，B相互独立，故用概率的乘法公式计算取出的4个球均为黑球的概率；
（II）由题意ξ可能的取值为0，1，2，3，再由概率的乘法公式求出取各个值时的概率，列出分布列由公式计算出数学期望即可．

解答：解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．
由于事件A，B相互独立，所以取出的4个球均为黑球的概率为
P（AB）=P（A）P（B）=

C 2 3

C 2 4

×

C 2 4

C 2 x+4

   
依题设

C 2 3

C 2 4

×

C 2 4

C 2 x+4

=

1

5

，
即

6

(x+4)(x+3)

=

1

5

，∴（x-2）（x-9）=0，∴x=2或x=-9（舍）
故乙盒内红球的个数为2．  
（II）ξ可能的取值为0，1，2，3由（I）知P（ξ=0）=

1

5

，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 2 4

×

C 2 4

C 2 6

+

C 2 3

C 2 4

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

7

15

，
P（ξ=3）=

C 1 3 × C 1 1

C 2 4

×

C 2 2

C 2 6

=

1

30

'
P（ξ=2）=1-P（ξ=3）-P（ξ=1）-（ξ=0）=

3

10

ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

ξ的数学期望Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列以及数学期望的求法，求解此类题的关键是求出相应的概率得出分布列，熟练掌握各类事件的概率求法及概率的性质，使得解题变得容易．