Question

函数f(x)=

3

sin2x+cos2x，给出下列三个命题：
①函数f(x)在区间[

π

6

，

2π

3

]上是减函数；
②直线x=

π

6

是函数f（x）的图象的一条对轴称；
③函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象向右平移

π

12

而得到．
其中正确的是

①②

．（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，
①通过函数的单调减区间，直接判断，函数f(x)在区间[

π

6

，

2π

3

]上是减函数，是否正确；
②利用x=

π

6

，函数是否取得最值，判断直线x=

π

6

是函数f（x）的图象的一条对轴称是否正确；
③直接按照函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象向右平移

π

12

而得到求出函数的解析式，即可判断正误．

解答：解：函数f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
①因为2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

时函数单调递减，
令k=0，-

π

3

≤x≤

2π

3

，函数f(x)在区间[

π

6

，

2π

3

]上是减函数；所以①正确．
②当x=

π

6

时，是函数f（x）=2sin（2×

π

6

+

π

6

）=2，
此时函数取得最大值，所以x=

π

6

是函数的图象的一条对轴称；正确．
③函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象向右平移

π

12

而得到f（x）=2sin（2x-

π

6

），
不正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，函数的单调性、对称性、图象的平移，考查基本知识的灵活运用．