设椭圆的中心为原点O.长轴在x轴上.上顶点为A.左.右焦点分别为F1.F2.线段OF1.OF2的中点分别为B1.B2.且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l交椭圆于P.Q两点．(1)求该椭圆的标准方程,(2)若PB2⊥QB2.求直线l的方程,(3)设直线l与圆O:x2+y2=8相交于M.N两点.令|MN|的长度为t.若t∈[4.].求△B2PQ的面积S� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．过B₁作直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直线l的方程；
（3）设直线l与圆O：x²+y²=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，

]，求△B₂PQ的面积S的取值范围．

【答案】分析：（1）设所求椭圆的标准方程为

，右焦点为F₂（c，0）．已知△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，可得c=2b，在Rt△AB₁B₂中，

，从而a²=b²+c²=20．即可得到椭圆的方程．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，利用PB₂⊥QB₂，?

，即可得到m．
（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，

，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离

，可得t=

，得k的取值范围；把直线l的方程代入椭圆的方程点到根与系数的关系，代入

|B₁B₂|×|y₁-y₂|，再通过换元，利用二次函数的单调性即可得出S的取值范围．
解答：解：（1）设所求椭圆的标准方程为

，右焦点为F₂（c，0）．
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，得c=2b，
在Rt△AB₁B₂中，

，从而a²=b²+c²=20．
因此所求椭圆的标准方程为：

．
（2）由（1）得B₁（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程

．化为（5+m²）y²-4my-16=0．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则

，

，
又

，B₂P⊥B₂Q，
所以

=（m²+1）y₁y₂-4m（y₁+y₂）+16=

=0，
∴m²=4，解得m=±2；
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．
（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，

，
当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离

，
因此t=

，得

，
联立方程组：

得（1+5k²）y²-4ky-16k²=0，
由韦达定理知，

，
所以

，
因此

．
设

，所以

，
综上所述：△B₂PQ的面积

．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．

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]，求△B₂PQ的面积S的取值范围．

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