Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短半轴长为l，动点M（2，t）（t＞0）在直线x=

a2

c

（c为半焦距）上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由点M（2，t）在直线x=

a2

c

上，得

a2

c

=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为（x-1）²+（y-

t

2

）²=

t2

4

+1．由此利用点到直线的距离公式能求出圆的方程．
（Ⅲ）由平几知|ON|²=|OK||OM|，直线OM：y=

t

2

x，直线FN：y=-

2

t

(x-1)，由

y= t 2 x y=- 2 t (x-1)

，得xk=

4

t2+4

．由此能证明线段ON的长为定值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由点M（2，t）在直线x=

a2

c

上，得

a2

c

=2，
故

1+c2

c

=2，∴c=1． 从而a=

2

．…（2分）
所以椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解：以OM为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-t）=0．
即（x-1）²+（y-

t

2

）²=

t2

4

+1．其圆心为（1，

t

2

），半径t=

t2 4 +1

．…（6分）
因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=

r2-1

=

t

2

．
所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4．
所求圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5．…（9分）
（Ⅲ）证明：由平几知：|ON|²=|OK||OM|，（K为垂足）
直线OM：y=

t

2

x，直线FN：y=-

2

t

(x-1)，由

y= t 2 x y=- 2 t (x-1)

，得xk=

4

t2+4

．
∴|ON|²=

(1+ t2 4 )xk

•

(1+ t2 4 )xM

=（1+

t2

4

）•

4

t2+4

•2=2．
所以线段ON的长为定值

2

． …（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程和圆的方程的求法，考查线段ON的长为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．