Question

（重点中学学生做）若不等式ax²+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

[0，4）

．

Answer 1

分析：当a=0时，不等式即 1＞0，显然满足对一切x∈R恒成立；当a＞0时，应有△=a²-4a＜0，解得 0＜a＜4；当a＜0时，显然不满足条件，由此得到实数a的取值范围．

解答：解：∵不等式ax²+ax+1＞0对一切x∈R恒成立，当a=0时，不等式即 1＞0，显然满足对一切x∈R恒成立，
当a＞0时，应有△=a²-4a＜0，解得 0＜a＜4，
当a＜0时，不等式ax²+ax+1＞0不可能对一切x∈R恒成立，故排除．
综上，0≤a＜4，即实数a的取值范围是[0，4）．
故答案为[0，4）．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．