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某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元,则农民购买电视机获得的补贴分别为
110
a,mln(b+1)万元(m>0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.
(1)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,并求其定义域;
(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?
分析:(1)先设投放B型电视机的金额的x万元,则投放A型电视机的金额为(10-x)万元,即可得到农民得到的总补贴的函数解析式;
(2)对于(1)中求得的函数,可利用导数研究分段其单调性,从而求得其最大值,最终即可解决当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大问题.
解答:解:(1)设投放B型电视机的金额的x万元,则投放A型电视机的金额为(10-x)万元,
农民得到的总补贴f(x)=
1
10
(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-
x
10
+1,1≤x≤9

(2)f′(x)=
m
x+1
-
1
10
=
10m-(x+1)
10(x+1)
=
-[x-(10m-1)]
10(x+1)
,令y′=0得x=10m-1
1°若10m-1≤1即0<m≤
1
5
,则f(x)在[1,9]为减函数,当x=1时,f(x)有最大值;
2°若1<10m-1<9即
1
5
<m<1
,则f(x)在[1,10m-1]是增函数在[10m-1,9]是减函数,当x=10m-1时,f(x)有最大值;
3°若10m-1≥9即m≥1,则f(x)在[1,9]是增函数,当x=9时,f(x)有最大值.
因此,当0<m≤
1
5
时,投放B型电视机1万元;当
1
5
<m<1
时,投放B型电视机(10m-1)万元,当m≥1时,投放B型电视机9万元.农民得到的总补贴最大.
点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用、利用导数研究函数的单调性及函数的最值,考查运算求解能力,分类讨论思想、化归与转化思想.属于基础题.
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(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?

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企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为ab万元,则农民购买电视机获得的补贴分

别为万元(m > 0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B

两种型号的电视机,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.

(Ⅰ)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,并求其定义域;

(Ⅱ)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?

 

 

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    (1)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,并求其定义域;

    (2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?

 

 

 

 

 

 

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