Question

如图，吊车的车身高为m米（包括车轮的高度），吊臂长n米，现要把一个直径为6米，高为3米的圆柱形屋顶水平地吊到屋基上安装，在安装过程中屋顶不能倾斜（注：在吊臂的旋转过程中可以靠吊起屋顶的缆绳的伸缩使得屋顶保持水平状态）．
（1）设吊臂与水平面的倾斜角为α，屋顶底部与地面间的距离最大为h米，此时如图所示，屋顶上部与吊臂有公共点，试将h表示为α函数，并写出定义域；
（2）若某吊车的车身高为2.5米，吊臂长24米，使用该吊车将屋顶吊到14米的屋基上，能否吊装成功？

Answer 1

分析：（1）如图，把吊臂顶到地面的距离用两种方式表示出来，得nsinα+m=h+3+3tanα整理即得h关于角α的函数．
（2）代入数据，整理出函数关系式，求导研究其单调性，求最值，验证其与屋顶高度的大小．

解答：解：（1）由已知得nsinα+m=h+3+3tanα
得h=nsinα-3tanα+m-3（0＜α＜

π

2

）（6分）
（2）由已知得∴h=24sinα-3tanα-

1

2

(0＜α＜

π

2

).（7分）
求导得h′(α)=24cosα-

3

cos2α

=

24(cos3α- 1 8 )

cos2α

=0.（10分）
∴cosα=

1

2

.∴α=

π

3

，且h′（α）在α=

π

3

处左正右负，（12分）
∴[h(α)]max=h(

π

3

)=9

3

-

1

2

＞9×1.7-

1

2

=14.8＞14.（15分）
答：可以吊装成功．（16分）

点评：考查实际背景下建立函数关系解决实际问题的能力．