Question

（理）已知双曲线

x2

9

-

y2

4

=1及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设点代入双曲线方程，作差，假设P为AB的中点，求出直线的斜率，从而可得方程，再代入双曲线方程验证，可知这样的直线不存在．

解答：解：设弦为AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 2 1 9 - y 2 1 4 =1   ① x 2 2 9 - y 2 2 4 =1   ②

①-②：

x 2 1  - x 2 2

9

-

y 2 1 - y 2 2

4

=0
若P（2，1）为AB的中点，则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∴

4(x1-x2)

9

-

2(y1-y2)

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

8

9

∴过点P的直线l方程为：y-1=

8

9

(x-2)
即8x-9y-7=0
经验证，将y=

8

9

x-

7

9

代入

x2

9

-

y2

4

=1得28x²-112x+373=0
∴△=112²-4×28×373＜0
∴直线不满足题意，故这样的直线不存在．

点评：本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查点差法求解中点弦问题，应注意验证结论是否满足题意．