Question

已知集合A={f（x）|f（x）=x，x∈[1，5]}与集合B={g(x)|g(x)=

x

2

+1，x∈[1，5]}，设函数y=max{f（x），g（x）}（即取f（x），g（x）中较大者）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）现从[1，5]中随之取出一个数x，在y=max{f（x），g（x）}的映射下，求y∈[

5

3

，3]的概率；
（3）（理）对于函数y=max{f（x），g（x）}x∈[1，5]，定义Y=[y]是对实数y取整数，（如[2.3]=3，[3]=3），求Y的数学期望．

Answer 1

考点：概率与函数的综合

专题：函数的性质及应用,概率与统计

分析：（1）在同一直角坐标下，作函数f（x）=x，g（x）=

x

2

+1，x∈[1，5]的图象，据图象易得函数y=

x 2 +1，x∈[1，2] x，x∈(2，5]

（2）运用图象结合概率的知识求出答案，（3）据图象判断相应的概率计算，运用数学期望的计算公式求解．

解答： 解；（1）在同一直角坐标下，作函数f（x）=x，g（x）=

x

2

+1，x∈[1，5]的图象，

易得函数y=

x 2 +1，x∈[1，2] x，x∈(2，5]

（2）∵当y∈[

5

3

，3]时，x∈[

4

3

，3]，
∴y∈[

5

3

，3]的概率为P=

3- 4 3

5-1

=

5

12

，
（3）因为y∈[

3

2

，5]时，所以Y可能取到的值为1，2，3，4，5，
P（Y=1）=

2-1

5-1

=

1

4

，
P（Y=2）=P（Y=3）=P（Y=4）=

1

4

，
P（Y=5）=0，
Y的数学期望（1+2+3+4）×

1

4

+5×0=

5

2

点评：本题考查了函数的性质与概率的求解，难度不大，属于中档题．