Question

若a，b，c，m，n，p均为非零实数，则关于x的方程m（ax²+bx+c）²+n（ax²+bx+c）+p=0的解组成的集合不可能是（ ）
A．{1，2，4，8}
B．{1，2，3，4}
C．{1，2}
D．∅

Answer 1

【答案】分析：根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解应满足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，分别进行判断
解答：解：解答：设f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-
设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为y₁，y₂
则必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=称
也就是说2（x₁+x₂）=
同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=对称
那就得到2（x₃+x₄）=
在B中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
C中，对称轴为x=即可，D中，方程的解不存在也有可能，
而A中{12，4，8}，中间两个数4，2的对称轴为3，而最大值和最小值1，8对称轴为
即函数的图象不是轴对称图形，
故选A
点评：本题主要考查二次函数的对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大