Question

17．若椭圆mx²+ny²=1与直线x+y-1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则$\frac{n}{m}$的值等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由直线x+y-1=0，可得y=-x+1代入mx²+ny²=1得：（m+n）x²-2nx+n-1=0，利用韦达定理，确定中点M的坐标，再利用过原点与线段AB中点的直线的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得到结论．

解答 解：由直线x+y-1=0，可得y=-x+1代入mx²+ny²=1得：（m+n）x²-2nx+n-1=0
设A、B的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则有：x₁+x₂=$\frac{2n}{m+n}$
y₁+y₂=1-x₁+1-x₂=2-（x₁+x₂）=$\frac{2m}{m+n}$，
∴AB的中点MM的坐标为（$\frac{n}{m+n}，\frac{m}{m+n}$），∴0M的斜率k=$\frac{m}{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{n}{m}$的值等于$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是直线与椭圆方程的联立．属于基础题．