Question

【题目】已知函数 ． （Ⅰ）当m=8时，求f（﹣4）的值；
（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，求|f（x）|的最大值；
（Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 当m=8时，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=77 （Ⅱ）函数 ．
0≤x≤8时，函数f（x）= ．
f（x）=x2﹣8x+7，当x=4时，函数取得最小值﹣9，x=0或x=8时函数取得最大值：7，
f（x）∈[﹣9，7]7
﹣8≤x＜0时，f（x）=f（x+2），如图函数图象，f（x）∈（﹣5，7]7
所以x∈[﹣8，8]时，|f（x）|max=97
（能清晰的画出图象说明|f（x）|的最大值为9，也给3分）

（Ⅲ） ①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，
只需x2﹣1≤2，得 ，即 ，此时m=07
②当0＜m≤2时，对称轴 ，要使得|f（x）|≤2，
首先观察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系，
由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2对于0＜m≤2恒成立，7
故K（m）的值为x2﹣mx+m﹣1=2的较大根x2 ，
解得 7
又 =
= 1
故 ，
则显然K（m）在m∈（0，2]上为增函数，
所以
由①②可知，K（m）的最大值为 ，此时m=2
【解析】（Ⅰ）通过m=8时，直接利用分段函数求f（﹣4）的值；（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，画出函数的图象，利用二次函数以及周期函数，转化求解函数|f（x）|的最大值；（Ⅲ） ①当m=0时，f（x）=x2﹣1（x≥0），转化求解即可，②当0＜m≤2时，求出对称轴，要使得|f（x）|≤2，判断f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）与y=﹣2的位置关系， 通过比较根的大小，利用函数的单调性求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．