Question

已知椭圆C 

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

3

2

，椭圆上一点M到椭圆两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线l倾斜角为

π

4

且过椭圆的右焦点与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|（3）若直线l过点D（-1，0）且与椭圆相交于AB两点，O为坐标原点，若AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，求直线l方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）根据a²=b²+c²，

c

a

=

3

2

，2a=4，求解．
（2）过点F且倾斜角为

π

4

的直线方程为y=x-

3

，与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求|AB|的值．
（3）设直线l的方程为：x+1=my，与椭圆方程联立，根据AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，即OA⊥OB，求出m值，即可得到直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

c

a

=

3

2

，
椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4，
∴a=2，c=

3

，b=1，
∴椭圆的标准方程：

x2

4

+y2=1，
（2）过点F且倾斜角为

π

4

的直线方程为y=x-

3

．
由

x2 4 +y2=1 y=x- 3

得5x²-8

3

x+8=0，
解得x₁=

4 3 +2 2

5

，x₂=

4 3 -2 2

5

，
故|AB|=

2

|x₁-x₂|=

8

5

．
（3）∵直线l过点D（-1，0），
∴设直线l的方程为：x+1=my，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 4 +y2=1 x+1=my

得：（m²+4）y²-2my-3=0，
则y1+y2=

2m

m2+4

，y1•y2=

-3

m2+4

，
则x₁•x₂=m²y₁•y₂-m（y₁+y₂）+1=

-4m2+4

m2+4

，
∵AB的中点为N，且|AB|=2|ON|，
故OA⊥OB，
即

OA

•

OB

=x₁•x₂+y1•y2=

-4m2+4-3

m2+4

=0，
解得：m=±

1

2

，
故直线l方程的方程为：x+1=

1

2

y，或x+1=-

1

2

y，
即2x-y+2=0，或2x+y+2=0

点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线的点斜式方程，直线与圆锥曲线的关系，弦长公式，向量垂直的充要条件，是直线，圆锥曲线，向量的综合应用，难度较大，属于难题．