【题目】设椭圆的左、右焦点分别为,,下顶点为,为坐标原点,点到直线的距离为,为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆交于,两点,若直线与直线的斜率之和为,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)利用表示出点到直线的距离;再利用和的关系得到方程,求解得到标准方程;(2)当直线斜率存在时,假设直线方程,利用斜率之和为得到与的关系,将直线方程化为,从而得到定点;当斜率不存在时,发现直线也过该定点,从而求得结果.
(1)解:由题意可知:直线的方程为,即
则
因为为等腰直角三角形,所以
又
可解得,,
所以椭圆的标准方程为
(2)证明:由(1)知
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
代入,得
所以,即
设,,则,
因为直线与直线的斜率之和为
所以
整理得
所以直线的方程为
显然直线经过定点
当直线的斜率不存在时,设直线的方程为
因为直线与直线的斜率之和为,设,则
所以,解得
此时直线的方程为
显然直线也经过该定点
综上,直线恒过点
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【题目】如图所示,曲线由部分椭圆:和部分抛物线:连接而成,与的公共点为,,其中所在椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)过点的直线与,分别交于点,(,,,中任意两点均不重合),若,求直线的方程.
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【题目】社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容,汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生,了解他们一年参加社区服务的时间,按,,,,(单位:小时)进行统计,得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.
(1)完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图.
抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表
社区服务时间 | 人数 | 频率 |
0.05 | ||
20 | ||
0.35 | ||
30 | ||
合计 | 100 | 1 |
学生社区服务时间合格与性别的列联表
不合格的人数 | 合格的人数 | |
男 | ||
女 |
(2)按高中综合素质评价的要求,高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格,根据上面的统计图表,完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表,并判断是否有以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关,并说明理由.
(3)用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况,并以频率作为概率.
(i)求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数.
(ⅱ)对我市高中生参加社区服务的情况进行评价.
参考公式
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.002 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(,其)
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【题目】定义向量的“相伴函数”为,函数的“相伴向量”为,其中O为坐标原点,记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.
(1)设,求证:;
(2)已知且,求其“相伴向量”的模;
(3)已知为圆上一点,向量的“相伴函数”在处取得最大值,当点M在圆C上运动时,求的取值范围.
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【题目】网约车的兴起丰富了民众出行的选择,为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题,据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示,截止目前,该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次,梁某即为此类网约车司机,据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、,它们出现的概率依次是、、、、t、.
(1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列,并求X的均值和方差;
(2)网约车计费细则如下:起步价为5元,行驶路程不超过时,租车费为5元,若行驶路程超过,则按每超出(不足也按计程)收费3元计费.依据以上条件,计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差.
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【题目】今年学雷锋日,某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者,用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组,学生的选派情况如下:
年级 | 相关人数 | 抽取人数 |
高一 | 99 | |
高二 | 27 | |
高三 | 18 | 2 |
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传,求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率;
(Ⅲ)若4名教师可去、、三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传,其中每名教师去、、三个文明交通宣传点是等可能的,且各位教师的选择相互独立.记到文明交通宣传点的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在AB、BC、CA上取点D,E,F,如图(1),使得EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF喂食,求△DEF 面积S△DEF的最大值;
(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在AB,BC,CA上取点D,E,F,如图(2),建造△DEF
连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF为正三角形,求△DEF边长的最小值.
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【题目】(1)求证:椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心;
(2)用作图方法找出下面给定椭圆的中心;
(3)我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”,其中,,.如图,设点,,是相应椭圆的焦点,,和,是“果圆” 与,轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值,若不存在,说明理由.
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【题目】随着我国经济的飞速发展,人民生活水平得到很大提高,汽车已经进入千千万万的家庭.大部分的车主在购买汽车时,会在轿车或者中作出选择,为了研究某地区哪种车型更受欢迎以及汽车一年内的行驶里程,某汽车销售经理作出如下统计:
购买了轿车(辆) | 购买了(辆) | |
岁以下车主 | ||
岁以下车主 |
表
图
(I)根据表,是否有的把握认为年龄与购买的汽车车型有关?
(II)图给出的是名车主上一年汽车的行驶里程,求这名车主上一年汽车的平均行驶里程(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)用表中的频率估计概率,随机调查名岁以下车主,设其中购买了轿车的人数为,求的分布列与数学期望.
附:,.
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