【题目】已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若点为棱上一点且,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)设的中点为,连接,,证明, ,平面,然后证明平面平面.
(Ⅱ)以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可.
解:(Ⅰ)设的中点为,连接,.
由题意,得,, .
在中,,为的中点, ,
在中,,,, ,
.
,,平面,平面,
平面,平面平面.
(Ⅱ)由平面,, ,,
于是以,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,
则, , , ,, , , , .
设平面的法向量为,
则由得: .令,得,,即.
设平面的法向量为,
由得: ,令,得,z=1,即.
.由图可知,二面角的余弦值为.
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为D.
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【题目】如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个),以下结论错误的是( )
A. 回答该问卷的总人数不可能是100个
B. 回答该问卷的受访者中,选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C. 回答该问卷的受访者中,选择“学校团委会宣传”的人数最少
D. 回答该问卷的受访者中,选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
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【题目】如图,在正四棱锥中,O为顶点S在底面ABCD内的投影,P为侧棱SD的中点,且.
(1)证明:平面PAC.
(2)求直线BC与平面PAC的所成角的大小.
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【题目】如图所示,有三根针和套在一根针上的个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为,则__________.
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【题目】从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,计算两个班学分的方差.得______,并由此可判断成绩更稳定的班级是______班.
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【题目】如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF;
(Ⅱ)当AD=1时,求直线FB与平面DFC所成角的正弦值.
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