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    已知矩阵M=
    2  1
    4  2
    ，向量
    β
    =
    .
    1 
    7 
    .
    ．
    （1）求矩阵M的特征向量；
    （2）计算M50
    β
    ．
    分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
    （2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量β，后将求A50β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．
    解答：解：（1）矩阵M的特征多项式为f(λ)=
    .
    λ-2-1
    -4λ-2
    .
    =(λ-2)2-4=0    ，…（3分）
    所以λ1=0，λ2=4，设对应的特征向量为α1=
    x1
    y1
    ，α2=
    x2
    y2
    ．
    由Mα1=λ1α1，Mα2=λ2α2，可得2x1+y1=0，2x2-y2=0，
    所以矩阵M的一个特征向量为α1=
    1
    -2
    ，α2=
    1
    2
    ．…（7分）
    （2）令β=mα1+nα2，则
    1
    7
    =m
    1
    -2
    +n
    1
    2
    ，解得m=-
    5
    4
    ，n=
    9
    4
    ，…（9分）
    所以M50β=M50(-
    5
    4
    α1+
    9
    4
    α2)
    =-
    5
    4
    (M50α1)+
    9
    4
    (M50α2)
    =-
    5
    4
    (λ150α1)+
    9
    4
    (λ250α2)
    =
    9
    4
    •450
    1
    2
    =
    450•
    9
    4
    450•
    9
    2
    ．      …（14分）
    点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于矩阵中的中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）选修4-2矩阵与变换：
    已知矩阵M=
    .
    2a
    21
    .
    ，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．
    ①求实数a的值；
    ②求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
    （2）选修4-4参数方程与极坐标：
    已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
    x=
    		2
    2
    t+m
    y=
    		2
    2
    t
    （t是参数）．若l与C相交于AB两点，且AB=
    		14
    ．
    ①求圆的普通方程，并求出圆心与半径；
    ②求实数m的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
    （1）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵M=
    01
    10
    ，N=
    0-1
    10

    （Ⅰ）求矩阵NN；
    （Ⅱ）若点P（0，1）在矩阵M对应的线性变换下得到点P′，求P′的坐标．
    （2）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
    x=t
    y=2t+1
    （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，求圆C的直角坐标方程
    （Ⅱ）求圆心C到直线l的距离．
    （3）选修4-5：不等式选讲
    已知函数f（x）=|x-1|
    （Ⅰ）解不等式f（x）＞2；
    （Ⅱ）求函数y=f（-x）+f（x+5）的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
    （1）已知矩阵M=
    12
    21
    ，β=
    1
    7
    ，（Ⅰ）求M-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M100β．
    （2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
    （3）已知a＞0，求证：
    		a2+
    1
    a2
    -
    		2
    ≥a+
    1
    a
    -2    ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知矩阵M=
    2  1
    4  2
    ，向量
    β
    =
    .
    1 
    7 
    .
    ．
    （1）求矩阵M的特征向量；
    （2）计算M50
    β
    ．

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