Question

已知椭圆C：

x2

m2

+y2=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且e=

2

2

，由此可m²=2，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于x₁x₂+y₁y₂＜0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且e=

2

2

，所以e2=

1

2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=1-

1

m2

，所以m²=2，即椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于

π

2

＜∠AOB＜π（A，O，B三点不共线），也就等价于

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…（7分）
联立

y=x+t x2+2y2=2

，得3x²+4tx+2（t²-1）=0，所以△=16t²-24（t²-1）＞0，即0＜t²＜3…②
且x1+x2=

-4t

3

，x1x2=

2t2-2

3

…（10分）
于是y1•y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+t2+t(x1+x2)=

t2-2

3

代入①式得，

2t2-2

3

+

t2-2

3

＜0，即t2＜

4

3

适合②式…（12分）
又t＞0，所以解得0＜t＜

2 3

3

即求．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，解题的关键是联立方程，运用韦达定理解题．