【题目】如图,在四棱锥中,
为正三角形,
为线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若,求直线
与平面
所成的角的正弦值.
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【题目】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格
(单位:元/千克)满足
,其中
,
为常数.已知销售价格为7元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求的值;
(2)若该商品成本为5元/千克,试确定销售价格值,使商场每日销售该商品所获利润最大.
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【题目】如图,在三棱柱中,点
在平面
内运动,使得二面角
的平面角与二面角
的平面角互余,则点
的轨迹是( )
A. 一段圆弧 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支
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【题目】某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取二十件,进行品质鉴定,鉴定成绩的茎叶图如下所示:
该产品的质量评价标准规定:鉴定成绩达到的产品,质量等级为优秀;鉴定成绩达到
的产品,质量等级为良好;鉴定成绩达到
的产品,质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.
(1)从等级为优秀的样本中随机抽取两件,记为来自B机器生产的产品数量,写出
的分布列,并求
的数学期望;
(2)完成下列列联表,以产品等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据,判断能不能在误差不超过0.05的情况下,认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好;
A生产的产品 | B生产的产品 | 合计 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合计 |
(3)已知优秀等级产品的利润为12元/件,良好等级产品的利润为10元/件,合格等级产品的利润为5元/件,A机器每生产10万件的成本为20万元,B机器每生产10万件的成本为30万元;该工厂决定:按样本数据测算,两种机器分别生产10万件产品,若收益之差达到5万元以上,则淘汰收益低的机器,若收益之差不超过5万元,则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗?
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【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家,对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度,某调查小组随机抽取了某市的100名高中生,请他们列举阿基米德的成就,把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”,少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下:
0项 | 1项 | 2项 | 3项 | 4项 | 5项 | 5项以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列联表,并判断是否有
的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关?
比较了解 | 不太了解 | 合计 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合计 |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人数;
(ii)从10人的样本中随机抽取3人,用表示这3人中文科生的人数,求
的分布列和数学期望.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,
.
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【题目】2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
(Ⅰ)根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人?
(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍,设选取的3人中女生人数为,写出
的分布列,并求
.
收看 | 没收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
附:,其中
.
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【题目】已知椭圆:
的长轴长为
,且椭圆
与圆
:
的公共弦长为
.
(1)求椭圆的方程.
(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于
,
两点,
轴于点
,点
在椭圆
上,且
,求证:
,
,
三点共线..
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【题目】已知如图1所示,在边长为12的正方形,中,
,且
,
分别交
于点
,将该正方形沿
,折叠,使得
与
重合,构成如图2 所示的三棱柱
,在该三棱柱底边
上有一点
,满足
; 请在图2 中解决下列问题:
(I)求证:当时,
//平面
;
(Ⅱ)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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