分析 (Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明:CD⊥平面A1OC;
(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE,建立空间坐标系,利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)在图1中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=$\frac{π}{2}$,
∴BE⊥AC,
即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,
则BE⊥平面A1OC;
∵CD∥BE,
∴CD⊥平面A1OC.
解:(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE,
由(Ⅰ)知BE⊥OA1,BE⊥OC,
∴∠A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,
∴∠A1OC=$\frac{π}{2}$,
如图,建立空间坐标系,
∵A1B=A1E=BC=ED=1.BC∥ED
∴B($\frac{\sqrt{2}}{2}$,0,0),E(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,0,0),A1(0,0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),C(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,0),
$\overrightarrow{BC}$=(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,0),$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BE}$=(-$\sqrt{2}$,0,0),
设平面A1BC的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),平面A1CD的法向量为$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$,令x=1,则y=1,z=1,即$\overrightarrow{m}$=(1,1,1),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b-c=0}\end{array}\right.$,取b=1,得$\overrightarrow{n}$=(0,1,1),
则cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴平面A1BC与平面A1CD夹角(锐角)的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.
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A. | (-∞,0] | B. | [-2,2] | C. | (-∞,2] | D. | [0,2] |
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