Question

设集合A={（x，y）|y≥|x-1|}，B={（x，y）|y≤-|x|+a}，A∩B≠￠．
（Ⅰ）实数a的取值范围是

 

；
（Ⅱ）当a=3时，若（x，y）∈A∩B，则2x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作出不等式对应的平面区域，根据条件A∩B≠∅，即可求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）当a=3时，作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求2x+y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）集合A={（x，y）|y≥|x-1|}表示图中阴影部分（绿色部分），
集合B={（x，y）|y≤-|x|+a}表示图中阴影部分（红色部分），
∵A∩B≠∅，
∴由图象可知a≥1，
即a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）当a=3时，B={（x，y）|y≤-|x|+3}，
则A∩B对应的平面区域如图（阴影部分ABCD）：
若（x，y）∈A∩B，令z=2x+y，
即y=-2x+z，
平移直线
作直线y=-2x+z，由图知当直线y=-2x+z过D（2，1）时，直线的截距最大，此时z最大．
即z=2×2+1=5．
故答案为：[1，+∞），5．

点评：本题主要考查二元一次不等式的应用，根据线性规划的知识，利用数形结合是解决本题的关键．