Question

如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，
给出下列结论：
①BC⊥面PAC；
②AF⊥面PCB；
③EF⊥PB；
④AE⊥面PBC．   
其中正确命题个数是

3

个．

Answer 1

分析：根据线面垂直的判定，可证出BC⊥平面PAC，从而AF⊥BC，结合已知条件得AF⊥面PCB．最后可证明PB⊥平面AEF，从而得到EF⊥PB，故正确的命题为①②③．

解答：解：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴PA⊥BC
∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC
∵PA、AC是平面PAC内相交直线
∴BC⊥平面PAC…①，
结合AF?平面PAC，得AF⊥BC
∵AF⊥PC，且PC、BC是平面PBC内的相交直线
∴AF⊥面PCB…②，
∵PB?平面PCB，∴AF⊥PB，
∵AE⊥PB，AE、AF是平面AEF内的相交直线
∴PB⊥平面AEF
结合EF?平面AEF，得EF⊥PB…③．
由以上的证明可知：①②③正确，而④是错误的
故答案为3

点评：本题给出一个特殊的三棱锥，要求我们找出其中的线面垂直和线线垂直，着重考查了空间线面垂直的判定与性质的知识，属于基础题．