Question

（12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，ＳＡ＝ＡＤ，M为AB中点，N为SC中点.
（1）证明：MN//平面SAD；
（2）证明：平面SMC⊥平面SCD；

Answer 1

（I）证明：取SD中点E，连接AE，NE，
∵　Ｎ、Ｅ分别是ＳＣ、ＳＤ的中点
∴　ＮＥ／／ＣＤ且ＮＥ＝ＣＤ
∵　ＡＢ／／ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ　ＡＭ＝ＡＢ
∴　ＮＥ／／ＡＭ且ＮＥ＝ＡＭ
∴　四边形ＡＭＮＥ为平行四边形
∴　ＭＮ／／ＡＥ
∵　
∴ MN//平面SAD；
（2）∵SA⊥平面ABCD  
∴ SA⊥CD
底面ABCD为矩形，
∴ AD⊥CD
又∵SA∩AD＝A    ∴CD⊥平面SAD，  ∴CD⊥SD        ∴CD⊥AE
∵SA="AD " E为SD的中点    ∴ AE⊥SD   ∵ SD∩CD＝D
∴ AE⊥平面SCD    ∵AE//MN  ∴MN⊥平面SCD   ∵MN平面MSC
∴平面SMC⊥平面SCD

略