Question

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，设第n次全行的数都为1的是第x行；第61行中1的个数是y，则x、y的值分别是（　　）

A．2ⁿ+1，32

B．2ⁿ-1，32

C．2ⁿ-1，31

D．2ⁿ+1，31

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，结合杨辉三角我们易得到第1行，第3行，第7行，…全都是1，则归纳推断可得：第n次全行的数都为1的是第2ⁿ-1行；由此结论我们可得第63行共有64个1，逆推即可得到第61行中1的个数．

解答：解：由已知中的数据
第1行          1   1
第2行        1   0   1
第3行       1   1  1   1
第4行      1   0  0  0   1
第5行     1  1   0  0   1   1
…
全行都为1的是第2ⁿ-1行；
故x=2ⁿ-1，
全行都为1的是第2ⁿ-1行；
∵n=6⇒2⁶-1=63，
故第63行共有64个1，
逆推知第62行共有32个1，
第61行共有32个1．故y=32，
故选B．

点评：本题考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质，（2）从已知某些相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．