Question

7．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁、a₃、a₁₃是等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2${\;}^{{a}_{n}}$}的前n项和S_n ．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）利用等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，d≠0．
由a₁=1，a₁、a₃、a₁₃ 成等比数列，
得（1+2d）²=1+12d．
得d=2或d=0（舍去）．    
故d=2．
所以a_n =2n-1；
（2）因为b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
所以{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以前n项和S_n =$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{{2}^{2n+1}-2}{3}$．

点评 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的通项公式，用公式法进行求和，属于中档题．