Question

已知函数f(x)=x²－x＋alnx

    (1)当x≥1时，f(x)≤x²恒成立，求a的取值范围；

    (2)讨论f(x)在定义域上的单调性；

Answer 1

（1）a≤e（2）（1）当△=1－8a≤0，a≥时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数．-----9分

（2）当a＜时

①当0＜a＜时，  

f(x)在上为减函数，

f(x)在上为增函数．       -------------11分

②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数． --13分

③当a＜0时，，故f(x)在（0，]上为减函数，

        f(x)在[，＋∞）上为增函数．           ------------   15分

解析:

由 f(x)≤x²恒成立,得:alnx≤x在x≥1时恒成立

       当x＝1时a∈R   -----------------------------------------------2分

       当x＞1时即，令 ,   ----------4分

       x≥e时g’(x)≥0 ,g(x)在x＞e时为增函数， g(x)在x＜e时为减函数

     ∴g_min(x)＝e   ∴a≤e      ---------------------------------------7分

(2)解：f(x)=x²－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋=，x＞0

（1）当△=1－8a≤0，a≥时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数．-----9分

（2）当a＜时

①当0＜a＜时，  

f(x)在上为减函数，

f(x)在上为增函数．       -------------11分

②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数． --13分

③当a＜0时，，故f(x)在（0，]上为减函数，

        f(x)在[，＋∞）上为增函数．           ------------   15分