Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，1），$\overrightarrow{n}$=（1+sinx，acosx+b），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜0时，x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值；
（3）当a=-b=$\sqrt{2}$时，函数y=f（x）的图象与直线y=1有交点，求相邻两个交点的最短距离．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求出f（x）的解析式，结合三角函数的单性即可求函数的单调递增区间；
（2）当a＜0时，x∈[0，π]时，结合三角函数的单调性求出函数的值域，结合已知f（x）的值域是[3，4]，建立方程关系即可求a，b的值；
（3）化简f（x），解方程f（x）=1，求出方程的根即可得到结论．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，1），$\overrightarrow{n}$=（1+sinx，acosx+b），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=a+asinx+acosx+b=a$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a+b．
（1）当a=1时，$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{n}$=（1+sinx，cosx+b），
则f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+sinx+cosx+b=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+1+b，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
即f（x）的单调递增区间是[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，π]时，则x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∵a＜0，∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值y=a$\sqrt{2}$+a+b．
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，函数f（x）取得最大值y=a$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+a+b=b．
∵f（x）的值域是[3，4]，
∴b=4，a$\sqrt{2}$+a+b=3，
解得a=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$=-（1+$\sqrt{2}$）．
（3）若a=-b=$\sqrt{2}$时，即a=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$时，
f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
由f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）=1得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
则x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或x+$\frac{π}{4}$=2mπ+$\frac{5π}{6}$，
即x₁=2kπ-$\frac{π}{12}$或x₂=2mπ+$\frac{7π}{12}$，
则|x₂-x₁|=|2mπ+$\frac{7π}{12}$-2kπ+$\frac{π}{12}$|=|2（m-k）+$\frac{2π}{3}$|，
∴当m=k时，|x₂-x₁|=$\frac{2π}{3}$，
即相邻两个交点的最短距离为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质以及向量数量积的应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强．