Question

如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设
PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．
（I）求证：；（Ⅱ）求证：平面MAP⊥平面SAC；
（ Ⅲ）求锐二面角M—AB—C的大小的余弦值；

Answer 1

（I）见解析（Ⅱ）见解析（ Ⅲ）

本试题主要是考查了空间中点线面的位置关系的综合运用。
（1）点P、M分别是SC和SB的中点 ∴
又∴
（2）建立空间直角坐标系C—xyz.，借助于法向量的垂直问题来证明面面的垂直。
（3）在第二问的基础上可知得到平面的法向量与法向量的夹角，得到二面角的平面角的大小。
解：（I）∵点P、M分别是SC和SB的中点 ∴
又∴
（II）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，     …………………………….2分
又∵P，M是SC、SB的中点
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，……………………………..5分
（II）如图以C为原点建立如图所示空间直角坐标系C—xyz.

则

    ………………………9分
设平面MAB的一个法向量为，则
由 取z=…………………..11分
取平面ABC的一个法向量为
则
故二面角M—AB—C的余弦值为…………………….13分