Question

7．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点A是椭圆C上任意一点，且△AF₁F₂的周长为2（$\sqrt{2}$+1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点B在直线l：y=$\sqrt{2}$上，且OA⊥OB，点O到直线AB的距离为d（A，B），求证：d（A，B）为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，2a+2c=2$（\sqrt{2}+1）$，联立解出即可得出．
（2）设A（x₀，y₀），B$（{x}_{1}，\sqrt{2}）$，由OA⊥OB，可得${x}_{0}{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{0}$=0，x₁=-$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
分类讨论：①若x₁≠x₀，直线AB的方程为：y-$\sqrt{2}$=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₁），即$（{y}_{0}-\sqrt{2}）$x+（x₁-x₀）y+$\sqrt{2}{x}_{0}$-x₁y₀=0，利用点到直线的距离公式与${x}_{0}^{2}=2-2{y}_{0}^{2}$，可得d（A，B）为定值1．②若x₁=x₀，设直线OA的方程为：y=kx，则B$（\frac{\sqrt{2}}{k}，\sqrt{2}）$，A$（\frac{\sqrt{2}}{k}，-\frac{\sqrt{2}}{{k}^{2}}）$，代入椭圆方程解出k即可得出．

解答 （1）解：由题意可得：$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a²=b²+c²，2a+2c=2$（\sqrt{2}+1）$，解得a=$\sqrt{2}$，c=b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）证明：设A（x₀，y₀），B$（{x}_{1}，\sqrt{2}）$，
∵OA⊥OB，∴${x}_{0}{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{0}$=0．∴x₁=-$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
①若x₁≠x₀，k_AB=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，直线AB的方程为：y-$\sqrt{2}$=$\frac{{y}_{0}-\sqrt{2}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x₁），
即$（{y}_{0}-\sqrt{2}）$x+（x₁-x₀）y+$\sqrt{2}{x}_{0}$-x₁y₀=0，
∴d（A，B）=$\frac{|\sqrt{2}{x}_{0}-{x}_{1}{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-\sqrt{2}）^{2}+（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}}}$，
∴[d（A，B）]²=$\frac{（\sqrt{2}{x}_{0}-{x}_{1}{y}_{0}）^{2}}{（{y}_{0}-\sqrt{2}）^{2}+（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{2（{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}）^{2}}{{x}_{0}^{2}（{y}_{0}-\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}{y}_{0}+{x}_{0}^{2}）}$，
∵${x}_{0}^{2}=2-2{y}_{0}^{2}$，
∴[d（A，B）]²=$\frac{2（2-{y}_{0}^{2}）^{2}}{（2-2{y}_{0}^{2}）{y}_{0}^{2}+4-2{y}_{0}^{2}+（2-2{y}_{0}^{2}）^{2}}$=$\frac{2（2-{y}_{0}^{2}）^{2}}{2（2-{y}_{0}^{2}）^{2}}$=1，
∴d（A，B）=1，为定值．
②若x₁=x₀，设直线OA的方程为：y=kx，则B$（\frac{\sqrt{2}}{k}，\sqrt{2}）$，A$（\frac{\sqrt{2}}{k}，-\frac{\sqrt{2}}{{k}^{2}}）$，
代入椭圆方程可得：$\frac{2}{2{k}^{2}}$+$\frac{2}{{k}^{4}}$=1，解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直线AB的方程为：x=±1，点O到直线AB的距离d（A，B）=1．
综上可得：d（A，B）为定值1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．