Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；
（II）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．

解答：y解：（Ⅰ）f′(x)=a-

b

x2

，
则有

f(l)=a+b+c=0 f′(l)=a-b=1

，
解得

b=a-1 c=l-2a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax+

a-1

x

+1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0，g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

（i）当o＜a＜

1

2

，

1-a

a

＞1
若1＜x＜

1-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．
（ii）a≥

1

2

时，

1-a

a

≤l
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为[

1

2

，+∞)

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．