Question

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一等差数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若数列{a_n}通项公式an=

5

2

n2-

13

2

n(n∈N*)，求{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，①证明：数列{

an

2n

}为等差数列；②求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）把依据数列的通项公式把a_n和a_n+1代入△a_n=a_n+1-a_n，进而求得{△a_n}的通项公式．
（2）①把△a_n=a_n+1-a_n代入△a_n-a_n=2ⁿ，等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，进而证出数列{

an

2n

}为等差数列．
②通过S_n-2S_n即错位相减法，进而求得和S_n

解答：解（1）依题△a_n=a_n+1-a_n，
∴△an=[

5

2

(n+1)2-

13

2

(n+1)]-(

5

2

n2-

13

2

n)=5n-4，
（2）i）由△a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

．a1=1，

a1

2

=

1

2

，
所以数列{

an

2n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列．
ii）由i）得

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
∴an=

n

2

•2n=n•2n-1，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+a_n=1•2⁰+2•2¹++n•2^n-1，①
∴2S_n=1•2¹+2•2²++n•2ⁿ②
①-②得-S_n=1+2+2²++2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2n，
∴S_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用．等差数列的公式多，繁杂，所以平时应注意多积累．