Question

如图1，在平面内，ABCD是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）设二面角F-PB-D的平面角为θ，若θ≥45°，求线段CF长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得：BD⊥PE，PE⊥AB所以PE⊥平面ABCD．所以证明线面垂直一般是证明已知直线与平面内的两条相交直线垂直即可．
（2）建立空间直角坐标系利用向量法求出两个平面的法向量，结合向量的一个知识表示出向量的夹角，进而表示出二面角的平面角再求出线段CF长的取值范围．

解答：解：（1）连接EC，∵

BE

BC

=

1

2

=

2

2

=

BC

CD

，∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，∴∠ECB=∠BDC．∴BD⊥CE．
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C，∴BD⊥平面PEC．∴BD⊥PE．
在正△PAB中，∵E是AB的中点，∴PE⊥AB．
又∵AB∩BD=B，∴PE⊥平面ABCD．
（2））设CF=t．建立空间直角坐标系，如图，
则P(0，0，

3

)，B(1，0，0)，D(-1，

2

，0)，F(1，

2

，t)．

BD

=(-2，

2

，0)，

BP

=(-1，0，

3

)．

BF

=(0，

2

，t)．
设平面PBD的一个法向量为

n1

=(x1，y1，1)，
则

n1 • BP =0 n • BD =0

?

-x1+ 3 =0 -2x1+ 2 y1=0

?

x1= 3 y1= 6

∴

n1

=(

3

，

6

，1)．
设平面FPB的一个法向量为

n1

=(x2，y2，1)，
则

n2 • BP =0 n2 • BF =0

?

-x2+ 3 =0 2 x2+t=0

?

x2= 3 y2=- t 2

∴

n2

=(

3

，-

t

2

，1)．
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

．
∵30°≤θ＜45°，∴

1

2

≤sinθ＜

2

2

．∴0＜t≤

3

．
∵θ≥45°，∴cosθ≤

2

2

．
∴

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

≤

2

2

，化简得

1

2

t2-8

3

t-4≤0．
解得0＜t≤8

3

+10

2

，因此，0＜CF≤8

3

+10

2

．

点评：解决探索性问题与求长度问题最好的方法就是向量法，将其转化为向量的基本运算，通过方程或不等式解决问题．