Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，φ＞0）的最大值为7，最小值为3，周期为8，在区间上单调递减，且函数f（x）图象过点P（5，5）．
（1）求φ的最小值；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程及其对称中心坐标．

Answer 1

解：（1）∵最小正周期为π，由周期公式可得ω=，
∵由函数f（x）的最大值是7，最小值是3，A＞0，
∴A=2，k=5，
∴f（x）=2sin（x+φ）+5，
又函数f（x）图象过点P（5，5）．
2sin（×5+φ）+5=5，∴sin（×5+φ）=0，
∴φ=kπ，（k∈Z），
∴φ=kπ-，（k∈Z），
当k=2时，φ=，此时f（x）=2sin（x+）+5，
由≤x+≤，（k∈Z），
得-1+8k≤x≤3+8k，（k∈Z），
不符合在区间上单调递减，
当k=3时，φ=，此时f（x）=2sin（x+）+5，
由≤x+≤，（k∈Z），
得-5+8k≤x≤-1+8k，（k∈Z），
符合在区间上单调递减，
∴φ的最小值．
（2）由（1）得f（x）=2sin（x+）+5，
令x+=+2kπ，（k∈Z），得x=4k-5，（k∈Z），
令x+=kπ，（k∈Z），得x=4k-7，（k∈Z），
∴函数f（x）图象的对称轴方程x=4k-5，（k∈Z），
及其对称中心坐标（4k-7，5），（k∈Z）．
分析：（1）由周期为8，根据周期公式可得，ω=，由函数f（x）的最大值是7，最小值是3，A＞0，可得关于a，b的方程，得a，b．再结合条件求出φ的最小值；
（2）由（1）得f（x）=2sin（x+）+5，利用正弦函数的图象与性质，令x+=+2kπ及令x+=kπ，即可得到函数f（x）图象的对称轴方程及其对称中心坐标．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，考查了正弦函数的单调区间及函数f（x）图象的对称轴方程及其对称中心坐标，考查了对基础知识的综合运用能力．