Question

【题目】已知椭圆，直线不经过椭圆上顶点，与椭圆交于，不同两点.

（1）当，时，求椭圆的离心率的取值范围；

（2）若，直线与的斜率之和为，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）由已知得直线，直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程有两个解，，求出的取值范围，，得，即可求出结论；

（2）椭圆方程为，上顶点，直线方程与椭圆方程联立，消元，得出关于的一元二次方程，设，，根据韦达定理，可得关系，将用表示，由，求出关系，即可求解.

（1），，则

由得，

因椭圆与直线相交于，不同两点，

∴，.

于是椭圆的离心率，

故椭圆的离心率范围为.

（2）∵，∴椭圆方程为，上顶点，

直线，点，，

联立得，

由韦达定理得

依题意有：，即

将（3）（4）代入（5）得：，

化简得：，

∴直线为：，

即直线过定点.