Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁=

3

2

3

，D是CB延长线上一点，且BD=BC，则二面角B₁-AD-B的大小（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  6

• C、

  5π

  6

• D、

  2π

  3

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：过B作BE⊥AD于E，连接EB₁，根据三垂线定理得∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角，在Rt△BB₁E中，利用三角函数的定义可算出∠B₁EB=

π

3

，即二面角B₁-AD-B的大小为

π

3

．

解答： 解：过B作BE⊥AD于E，连接EB₁，
∵BB₁⊥平面ABD，∴BE是B₁E在平面ABD内的射影，
结合BE⊥AD，可得B₁E⊥AD，
∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角，
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=

1

2

AC=

3

2

，
在Rt△BB₁E中，tan∠B₁BE=

B1B

BE

=

3 2 3

3 2

=

3

，
∴∠B₁EB=

π

3

，即二面角B₁-AD-B的大小为

π

3

，
故选：A．

点评：本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的二面角的大小，着重考查了空间线面面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．