练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    求证：(1)是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

     

    【答案】

    （Ⅰ）(1) 由题知，，是数列的母函数

    (2) （Ⅱ），，从而是以为首项，为公比的等比数列

    又故当时，有

    ，化简得结论

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）(1)由题知，且

    .

    是数列的母函数；

    (2) 由(1) 知：是首项和公差均为的等差数列，故.

               ①

          ②

    ①-②得：.

    .

    （Ⅱ）由题知：，. .

    从而是以为首项，为公比的等比数列.

    .

    又

    故当时，有：

    .

    考点：信息题及数列求和

    点评：求解本题首先要正确理解所给信息母函数的实质，将其性质代入相应的函数式中推理；第一问的数列求和用到了错位相减法，这种方法是数列求和题常用到的方法，其适用于通项公式为关于n的一次函数式与指数式的乘积形式的数列

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列{xn}和函数f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），则称f（x）是数列{xn}的母函数．
    （Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
    1
    2
    )=1    ；又数列{an}满足：an=g(
    1
    2n
    )    ．
    求证：（1）f（x）=x+2是数列{2nan}的母函数；
    （2）求数列{an}的前项n和Sn．
    （Ⅱ）已知f(x)=
    2012x+2
    x+2013
    是数列{bn}的母函数，且b1=2．若数列{
    bn-1
    bn+2
    }    的前n项和为Tn，求证：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    (1) 求证：是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    (1)  求证：是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    (1)  求证：是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案