Question

【题目】已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.

（1）求椭圆E的标准方程，

（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，求出，即可得答案；

（2）根据题意可知，，因为，所以可设直线CD的方程为，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到的关系，再代入斜率公式可证得为定值.

（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，

当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.

所以，所以，，

故椭圆E的标准方程为.

（2）根据题意可知，，因为，

所以可设直线CD的方程为.

由，消去y可得，

所以，即.

直线AD的斜率，

直线BC的斜率，

所以

，故为定值.