Question

一动圆和直线l：x=-

1

2

相切，并且经过点F(

1

2

，0)，
（Ⅰ）求动圆的圆心θ的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点P（2，0）且斜率为k的直线交曲线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
求证：OM⊥ON．

Answer 1

分析：（I）根据圆的性质和抛物线的定义，可得动圆圆心θ的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．由此结合抛物线的标准方程加以计算，即可得到圆心θ的轨迹C的方程；
（II）设过点P（2，0）且斜率为k的直线的方程为y=k（x-2），与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程．运用根与系数的关系算出x₁x₂、y₁y₂的值，从而得到

OM

•

ON

=0，所以

OM

⊥

ON

，使结论得证．

解答：解：（ I）∵动圆和直线l：x=-

1

2

相切，并且经过点F(

1

2

，0)，
∴圆心θ到F(

1

2

，0)的距离等于θ到定直线l：x=-

1

2

的距离，都等于圆的半径…（2分）
根据抛物线的定义，可得：圆心θ的轨迹C就是以F为焦点，l为准线的抛物线，…（3分）
设抛物线方程为y²=2px，其中

p

2

=

1

2

，解得p=1
∴抛物线方程是y²=2x，即为所求轨迹C的方程．…（6分）
（ II）证明：设过点P（2，0）且斜率为k的直线的方程为
y=k（x-2）（k≠0）①…（7分）
代入y²=2x消去y，可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②…（8分）
由根与系数的关系，得x1x2=

4k2

k2

=4．…（9分）
结合y12=2x1，y22=2x2，可得y₁y₂=

4x 2x2

=2

x 2x2

=4．…（10分）
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=4-4=0，
由此可得向量

OM

、

ON

夹角为90°，即OM⊥ON．…（12分）

点评：本题给出满足条件的动圆，求动圆的圆心θ的轨迹C的方程并证明OM⊥ON．着重考查了平面向量数量积的运算性质、抛物线的几何性质和轨迹方程求法等知识，属于中档题．