Question

已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos²θ．记F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都为常数，且b＞0）．
（Ⅰ）若a=4，b=1，求F（θ）的最大值及此时的θ值；
（Ⅱ）若θ∈[0，

π

2

]，①证明：F（θ）的最大值是|2b-a|+b；②证明：F（θ）+|2b-a|+b≥0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a与b的值代入利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用二次函数的性质即可求出F（θ）的最大值及此时的θ值；
（Ⅱ）F（θ）解析式利用同角三角函数间的基本关系整理后，设sinθ=x，得到G（x）关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，
①当

a

4b

≤

1

2

，即2b≥a时，求出G（x）的最大值为G（1），当

a

4b

＞

1

2

，即2b＜a时，G（x）的最大值G（0），即可得证；
②要证F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求证G（x）_min+|2b-a|+b≥0，其中G（x）=4b（x-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
当

a

4b

＜0，即a＜0时，G（x）_min+|2b-a|+b大于0，当0≤

a

4b

≤1，0≤a≤4b时，G（x）_min+|2b-a|+b也大于0，得证．

解答：解：（Ⅰ）若a=4，b=1时，F（θ）=4（1-2sinθ）+3-4cos²θ=4（sinθ-1）²-1，
则F（θ）_max=15，此时的θ=2kπ-

π

2

（k∈Z）；
（Ⅱ）证明：F（θ）=a（1-2sinθ）+b（3-4cos²θ）=4b（sinθ-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

，
令sinθ=x∈[0，1]，记G（x）=4b（x-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
则其对称轴x=

a

4b

；
①当

a

4b

≤

1

2

，即2b≥a时，G（x）_max=G（1）=3b-a；
当

a

4b

＞

1

2

，即2b＜a时，G（x）_max=G（0）=a-b，
则G（x）_max=F（θ）_max=

3b-a(2b≥a) a-b(2b＜a)

=|2b-a|+b；
②F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求证G（x）_min+|2b-a|+b≥0，
其中G（x）=4b（x-

a

4b

）²+a-b-

a2

4b

（0≤x≤1），
当

a

4b

＜0，即a＜0时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（0）+2b-a+b=2b＞0，
当0≤

a

4b

≤1，即0≤a≤4b时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（

a

4b

）+|2b-a|+b=a-b-

a2

4b

+|2b-a|+b
=a-

a2

4b

+|2b-a|=

a(4b-a)

4b

+|2b-a|≥0，
当

a

4b

＞1，即a＞4b时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（1）+a-2b+b=2b＞0，
综上：F（θ）+|2b-a|+b≥0．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，函数最值的应用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．