Question

【题目】已知向量 =（m，﹣1）， =（ ）
（1）若m=﹣ ，求 与 的夹角θ；
（2）设 ． ①求实数m的值；
②若存在非零实数k，t，使得[ +（t2﹣3） ]⊥（﹣k +t ），求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（m，﹣1）， =（ ），若m=﹣ ， 与 的夹角θ，

则有cosθ= = =﹣ ，∴θ=

（2）解：①设 ，则 = ﹣ =0，∴m= ．

②由①可得， =（ ，﹣1）， = ﹣ =0，

若存在非零实数k，t，使得[ +（t2﹣3） ]⊥（﹣k +t ），故有[ +（t2﹣3） ]（﹣k +t ）=0，

∴﹣k +[﹣k（t2﹣3）+t] +t（t2﹣3） =﹣k4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t（t2﹣3），

∴ = +t= = ≥﹣ ，当且仅当t=﹣2时，取等号，

故 的最小值为﹣ ．

【解析】（1）由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ= 的值，可得θ的值．（2）①利用两个向量垂直的性质，求得m的值．②根据[ +（t2﹣3） ]（﹣k +t ）=0，求得4k=t（t2﹣3），从而求得 = ，再利用二次函数的性质求得它的最小值．